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Arc paramétré - Courbe paramétrée

Définition : On appelle arc paramétré de classe Ck un couple (I,f) où I est un intervalle de R et f est une application de classe Ck de I dans R2.
L'ensemble C=f(I) est appelé support de l'arc, ou encore courbe paramétrée associée.
On dit encore que l'arc (I,f) est un paramétrage de la courbe C.
Exemples :
  • I=R et f(t)=(t,t2) est un arc paramétré dont le support est la parabole y=x2.
  • I=[0,2pi] et f(t)=(cos(t),sin(t)) est un arc paramétré dont le support est le cercle unité.
  • I=[0,4pi] et f(t)=(cos(2t),sin(2t)) est un arc paramétré dont le support est le cercle unité.
  Les deux derniers exemples mettent en valeur la différence entre l'arc paramétré et son support : les arcs paramétrés sont différents, mais leurs supports sont égaux. Connaitre l'arc paramétré associé à une courbe, c'est donc connaitre la façon dont la courbe est décrite (sens, une ou plusieurs fois, vitesse,...)

Définition : Un arc paramétré (I,f) est dit simple si la fonction f est injective.
Une courbe paramétrée est dite simple si elle admet pour paramétrage un arc paramétré simple.