Arc paramétré - Courbe paramétrée
On appelle arc paramétré de classe $\mathcal C^k$
un couple $(I,f)$ où $I$ est un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ est une application de classe
$\mathcal C^k$ de $I$ dans $\mathbb R^2.$
L'ensemble $C=f(I)$ est appelé support de l'arc, ou encore courbe paramétrée associée.
On dit encore que l'arc $(I,f)$ est un paramétrage de la courbe $C.$
Exemples :
- $I=\mathbb R$ et $f(t)=(t,t^2)$ est un arc paramétré dont le support est la parabole $y=x^2.$
- $I=[0,2\pi]$ et $f(t)=(\cos(t),\sin(t))$ est un arc paramétré dont le support est le cercle unité.
- $I=[0,4\pi]$ et $f(t)=(\cos(2t),\sin(2t))$ est un arc paramétré dont le support est le cercle unité.
Les deux derniers exemples mettent en valeur la différence entre l'arc paramétré et son support : les arcs paramétrés sont différents, mais leurs supports sont égaux. Connaitre l'arc paramétré associé à une courbe, c'est donc connaitre la façon dont la courbe est décrite (sens, une ou plusieurs fois, vitesse,...)
Un arc paramétré $(I,f)$ est dit simple si la fonction $f$ est injective. Une courbe paramétrée est dite simple si elle admet pour paramétrage un arc paramétré simple.