$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Archimédien

Soient les deux nombres réels positifs $3,\!5$ et $17$. Il est possible de trouver un entier naturel $n$ dont le produit par $3,\!5$ soit supérieur à $17$; $6$ par exemple répond à la question. De façon générale, pour tous nombres réels strictement positifs $a$ et $x$, il est toujours possible de trouver un entier naturel $n$ tel que le produit $nx$ soit supérieur à $a$ : $$\forall (a,x) \in(\mathbb {R}_+^*)^2,\ \exists n\in\mathbb {N},\ 0< a< n\times x.$$ On dit que $\mathbb R$ est archimédien.

Plus généralement si $(G,+,\le)$ est un groupe totalement ordonné, on dit que $G$ est archimédien lorsque pour tous éléments $a$ et $b$ de $G$ vérifiant $a>0$ et $b>0$ il existe un entier naturel $n$ tel que $na > b$. Tout sous-groupe de $\mathbb R$ est archimédien. Réciproquement, tout groupe archimédien est isomorphe à un sous-groupe de $\mathbb R.$

L'axiome d'Archimède est une propriété utilisée dès l'Antiquité. Selon le livre V des Éléments d'Euclide, il s'écrit : Des grandeurs sont dites avoir une raison entre elles lorsque ces grandeurs, étant multipliées, peuvent se surpasser mutuellement. Cette propriété est utilisée dans le livre V des Éléments pour définir la notion de proportion entre grandeurs. Elle permet de prouver la proposition 1 du livre X des Éléments, qui est fréquemment utilisée dans la méthode d'exhaustion : Deux grandeurs inégales étant proposées, si l'on retranche de la plus grande une partie plus grande que sa moitié, si l'on retranche du reste une partie plus grande que sa moitié, et si l'on fait toujours la même chose, il restera une certaine grandeur qui sera plus petite que la plus petite des grandeurs proposées.
Consulter aussi...
Recherche alphabétique
Recherche thématique