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Calcul de Pi selon Archimède

Archimède a inventé, vers 250 avant J-C, une méthode originale pour le calcul de l'aire d'un disque. Il encadre en effet cette valeur par l'aire d'un polygone régulier inscrit dans ce disque, et par l'aire d'un polygone régulier exinscrit :

Cette méthode préfigure le calcul intégral de Newton et Leibniz, près de 2000 ans avant son invention effective. En utilisant un polygone à 96 côtés, Archimède parvient à l'excellente approximation :

$$ \frac{223}{71}\leq \pi\leq \frac{22}7.$$
Détail de la méthode

On se propose d'approcher l'aire d'un disque de rayon 1. Pour un polygone régulier à $n$ côtés, l'angle au centre vaut $\frac{2\pi}n$. Pour le polygone inscrit, on a la figure suivante :

Par la formule d'Al-Kashi, on a : , soit . De plus, la hauteur a pour longueur $\cos\left(\frac \pi n\right)$ et finalement l'aire du polygone inscrit est $$A_{\textrm{inscrit}}=n\sin\left(\frac \pi n\right)\cos\left(\frac\pi n\right).$$ Pour le polygone exinscrit, on a la figure :
On a donc : . La hauteur du triangle considéré vaut 1. On en déduit que l'aire du polygone exinscrit est : $$A_{\textrm{exinscrit}}=n\tan\left(\frac \pi n\right).$$ Finalement, l'aire du disque unité, qui vaut $\pi$, peut être encadrée de la façon suivante : $$n\sin\left(\frac\pi n\right)\cos\left(\frac\pi n\right)\leq \pi\leq n\tan\left(\frac\pi n\right).$$ Il reste à calculer et . On peut le faire, par exemple si n=2k6, en utilisant les formules et .

En réalité, Archimède encadrait non pas l'aire du disque par l'aire des deux polygones, mais le périmètre du cercle par le périmètre des deux polygones. Ceci amène à l'encadrement $$n\sin\left(\frac\pi n\right)\leq \pi\leq n\tan\left(\frac\pi n\right)$$ qui est plus précis, mais plus difficile à justifier (pourquoi le périmètre du polygone exinscrit devrait forcément être plus grand que le périmètre du cercle?).
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