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Calcul de Pi selon Archimède

  Archimède a inventé, vers 250 avant J-C, une méthode originale pour le calcul de la longueur d'un cercle. Il encadre en effet cette valeur par le périmètre d'un polygone régulier inscrit dans ce cercle, et par le périmètre d'un polygone régulier exinscrit :
Cette méthode préfigure le calcul intégral de Newton et Leibniz, près de 2000 ans avant son invention effective. En utilisant un polygone à 96 côtés, Archimède parvient à l'excellente approximation :

Détail de la méthode
  On se propose de calculer le périmètre d'un cercle de rayon 1. Pour un polygone régulier à n côtés, l'angle au centre vaut . Pour le polygone inscrit, on a la figure suivante :
Par la formule d'Al-Kashi, on a : , soit . Pour le polygone exinscrit, on a la figure :
On a donc : . On en déduit que :
Il reste à calculer et . On peut le faire, par exemple si n=2k6, en utilisant les formules et .

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