$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Arc capable

Théorème et définition : Soient A et B deux points du plan et a un réel donné. L'ensemble des points M du plan différents de A et B tels que
est :
  • la droite (AB) privée des points A et B si
  • un cercle passant par A et B et privé des points A et B sinon.
Lorsque l'on regarde la congruence modulo 2pi, ie si l'on cherche les points M du plan tels que
alors on trouve un arc de cercle passant par A et B dans le cas . Cet arc est appelé arc capable.

Bien avant les GPS, l'arc capable était utilisé par les marins pour se positionner. Ils prenaient en effet deux points à l'horizon (un phare, etc...) et mesuraient l'angle entre ces deux points. En traçant sur la carte l'arc capable correspondant à ces deux points et à l'angle mesuré, ils trouvaient un arc de cercle sur lequel leur bateau se situait. En recommençant la même opération avec deux autres points, ils obtenaient un second arc de cercle. Le navire était exactement à l'intersection des deux arcs!
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