$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Arbre de probabilité pondéré

Un arbre de probabilité est un arbre permettant de modéliser une expérience aléatoire et de déterminer la probabilité de certains événements complexes. Il est particulièrement bien adapté aux situations correspondant à l'enchaînement de deux ou plusieurs expériences aléatoires, la probabilité des issues de la seconde expérience dépendant du résultat de la première.

Commençons par un exemple. On dispose de lampes issues de deux lots, le lot A et le lot B. 70% des lampes sont issues du lot A, et 30% du lot B. On sait de plus que la probabilité qu'une lampe issue du lot A soit valide est de 0,9, alors que la probabilité qu'une lampe issue du lot B soit valide est de 0,94. Si on prend une lampe au hasard, quelle est la probabilité qu'elle présente un défaut?

On représente cette situation par un arbre. De la racine partent deux branches, vers les deux feuilles "Lot A" et "Lot B". Sur chacune des branches, on écrit la probabilité de l'événement correspondant : "appartenir au lot A" et "appartenir au lot B". Ensuite, de chaque feuille "Lot A" et "Lot B", on fait partir deux branches, vers deux feuilles correspond aux événements V="être valide" et D="avoir un défaut". Sur chaque branche, on écrit la probabilité conditionnelle que l'événement terminal se réalise sachant que l'événement intermédiaire est réalisé. On trouve donc :

Lot A Lot B V D V D 0,7 0,3 0,9 0,1 0,94 0,06

Les probabilités des événements intersection s'obtiennent en effectuant le produit des probabilités des différentes branches qui amènent à ces événements. Par exemple, si on cherche la probabilité d'être dans le lot A et d'être défaillant, on trouve $0,7\times0,1=0,07$. De même, la probabilité d'être dans le lot B et d'être défaillant vaut $0,3\times 0,06=0,018$. Et finalement, la probabilité d'être défaillent est $0,07+0,018=0,088$.

Plus généralement, un arbre de probabilité de profondeur deux est défini de la façon suivante. Soit $\Omega$ l'univers de l'expérience aléatoire. Soit $A_1,\dots,A_p$ et $B_1,\dots,B_q$ deux systèmes complets d'événements. La racine de l'arbre correspondant à $\Omega$. De cette racine, on fait partir $p$ branches vers les noeuds $A_1,\dots,A_p$. Sur chaque branche, on écrit la probabilité $P(A_i)$ que l'événement se réalise. De chacun des noeuds $A_1,\dots,A_p$, on fait partir $q$ branches vers les feuilles $B_1,\dots,B_q$. Sur la branche liant le noeud $A_i$ à la feuille $B_j$, on écrit la probabilité condionnelle $P_{A_i}(B_j)$.

Le script suivant, créé par Alain Busser de l'Irem de la Réunion, permet d'automatiser les calculs réalisés avec un arbre de probabilité de profondeur 2.

A
0.6 A
0.4
0.75 B
0.25 B
0.7 B
0.3 B

Actuellement, on a

  • P(A)=0.6 et P(A)=0.4.
  • PA(B)=0.75 et PA(B)=0.25.
  • PA(B)=0.7 et PA(B)= 0.3.
Alors
  • P(A∩B)=0.6× 0.75=0.45, et P(A∩B)=0.4× 0.7=0.28, d'où P(B)=0.45+0.28= 0.73
  • P(A∩B)=0.6× 0.25=0.15, et P(AB)=0.4× 0.3=0.12, d'où P(B)=0.15+0.12= 0.27