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Bibm@th

Approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson

Théorème : Soit $(X_n)$ une suite de variables aléatoires suivant une loi binomiale $\mathcal B(n,p_n)$. On suppose que $np_n\to\lambda>0$. Alors $(X_n)$ converge en loi vers une variable aléatoire de Poisson de paramètre $\lambda$. Autrement dit, pour tout $k\in\mathbb N$, on a $$P(X_n=k)\to \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}.$$

  En pratique, si $X$ est une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal B(n , p)$ avec $n\geq 30$, $p\leq 0,1$ et $np\leq 15$, on peut approximer la loi de $X$ par la loi de Poisson de paramètre $np$.

  C'est ce théorème qui justifie le fait que la loi de Poisson est utilisée comme modèle de certaines expériences aléatoires (nombre de clients entrant dans un magasin, nombre de coquilles dans une page de journal,...).