$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Nombres bien approchables

Définition :
  • Un réel $x\in[0,1]$ est appellé nombre bien approchable s'il existe une suite de rationnels $(p_n/q_n)$ est une constante $C>0$ telle que la suite $(q_n)$ tend vers $+\infty$ et, pour tout entier $n$, $$\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|\leq \frac C{q_n^2}.$$
  • Un réel $x\in[0,1]$ est appellé nombre très bien approchable s'il existe une suite de rationnels $(p_n/q_n)$ est une constante $C>0$ telle que la suite $(q_n)$ tend vers $+\infty$ et, pour tout entier $n$, $$\left|x-\frac{p_n}{q_n}\right|\leq \frac C{q_n^2\ln^2(q_n)}.$$
Ces deux définitions peuvent sembler très similaires. Elles indiquent toutes deux que le réel $x$ peut être (très) bien approché par des rationnels de dénominateur fixé. Pourtant, elles déterminent des nombres très différents. En effet, on peut prouver que
  • Tout nombre réel de $[0,1]$ est bien approchable (c'est une conséquence du lemme des tiroirs).
  • L'ensemble des réels de $[0,1]$ qui sont très bien approchables est de mesure de Lebesgue nulle (c'est une conséquence du lemme de Borel-Cantelli).
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