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Bibm@th

Applications linéaires

  Nous considérons E et F deux espaces vectoriels. Une application linéaire u est une fonction de E dans F qui vérifie :
  1. Pour tous x et y de E, u(x+y)=u(x)+u(y).
  2. Pour tout x de E, et tout scalaire a, u(ax)=au(x).
Les applications linéaires sont les "bonnes applications" d'un espace vectoriel dans un autre, car ce sont celles qui conservent la structure d'espace vectoriel. Ainsi, si on définit
  • le noyau de u par Ker(u)={x de E; u(x)=0}
  • l'image de u par Im(u)=u(E)={y de F; il existe x dans E avec y=u(x)}
alors le noyau est un sous-espace vectoriel de E, et l'image est un sous-espace vectoriel de F.

  Si K est le corps des scalaires de l'espace vectoriel E (en général, R ou C), on appelle forme linéaire toute application linéaire de u dans K. Les noyaux des formes linéaires sont des sous-espaces vectoriels particuliers car maximaux : on les appelle hyperplans.