$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Cercles d'Apollonius

Cercles d'Apollonius de deux points
  Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan et soit $k$ un réel positif différent de 1. Alors l'ensemble des points $M$ du plan tels que $\frac{MA}{MB}=k$ est un cercle. Plus précisément, c'est le cercle de diamètre [IJ] où $I$ est le barycentre de $\{(A,1),(B,k)\}$ et $J$ est le barycentre de $\{(A,1),(B,-k)\}$.

Cercle d'Appolonius dans le cas où $k=2$

Cercles d'Apollonius d'un triangle
  Considérons un triangle ABC. Soient (D,I), (E,J), (F,K) les pieds des bissectrices intérieures et extérieures du triangle. Les cercles de diamètre [DI], [EJ] et [FK] sont appelés les cercles d'Apollonius du triangle.

On peut remarquer sur le dessin précédent que les 3 cercles sont concourants : en termes savants, il appartiennent au même faisceau...
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