$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Le paradoxe des anniversaires



  Dans une classe, quelle est la probabilité pour que 2 élèves fêtent leurs anniversaires le même jour? Avec 365 jours par an, une trentaine d'élèves dans la classe, on se dit qu'elle doit être faible...

  Détrompez-vous! On va calculer la probabilité pour que, dans un groupe de k personnes, ces personnes aient toutes un jour d'anniversaire différent.
  • Qd on a 2 personnes, la première peut avoir son anniversaire n'importe quand, la seconde n'importe quel autre jour. On a donc :
  • Quand on a 3 personnes, la troisième doit avoir son anniversaire un jour différent des 2 autres :
  • On peut réitérer le raisonnement. Pour un groupe de k personnes, on obtient :
    Une petite application numérique donne :

    Nombre de personnes Probabilité pour que les anniversaires tombent tous un jour différent
    11
    20.99
    5 0.97
    10 0.88
    20 0.58
    22 0.52
    23 0.49
    30 0.29
    50 0.03
    Il ne faut donc que 23 personnes pour qu'il y ait plus d'une chance sur 2 pour que 2 personnes aient leur anniversaire le même jour, contrairement à ce que l'intuition laisse présumer. A partir de 50 personnes, il n'y a que 3% de chances que tous les anniversaires diffèrent!