$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Anneaux >

Quelques anneaux particuliers

Anneau principal
  Un anneau A est principal s'il est commutatif, unitaire, intègre, et si tous ses idéaux sont principaux (c'est-à-dire qu'ils sont engendrés par un seul élément).
Exemple : Les anneaux Z et R[X] sont principaux.

Anneau noethérien
  Un anneau commutatif A est noethérien si tout idéal I de a est engendré par un nombre fini d'éléments (c'est-à-dire s'il existe des éléments x1,...,xn de A tel que tout élément de I s'écrit a1x1+...+anxn). Ceci est équivalent aux deux propositions suivantes :
  • toute suite d'idéaux croissante pour l'inclusion est stationnaire.
  • tout ensemble non vide d'idéaux possède un élément maximal pour l'inclusion.
Pratiquement tous les anneaux sont noethériens.

Anneau factoriel
  Un anneau A est dit factoriel s'il est intègre et s'il vérifie les deux propriétés suivantes :
  • Tout élément non nul a de A s'écrit a=up1...pr, où u est un inversible de A, et où p1,...,pr sont des irréductibles de A.
  • Cette écriture est unique à permutation près, et à des inversibles près.
Les anneaux factoriels sont ceux où il est possible de faire de l'arithmétique : il y existe un pgcd, un ppcm, le théorème de Gauss y est vrai. Tout anneau principal est factoriel, la réciproque étant fausse.

Anneau de Boole
  Un anneau A est un anneau de Boole si pour tout x de A, on a x2=x.
Exemple : Soit E un ensemble, et P(E) l'ensemble des parties de E. On définit sur P(E) des opérations + et × par :
Alors P(E) muni de ces deux opérations est un anneau de Boole.

Anneau intégralement clos
  Soit B un anneau, et A un sous-anneau de B. Un élément b de B est entier sur A s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans A. Un anneau intègre A est intégralement clos si tous les éléments de son corps des fractions entiers sur A sont éléments de A.

Anneau artinien
  Un anneau commutatif A est artinien si toute suite d'idéaux décroissante pour l'inclusion est stationnaire.
Même si la définition peut sembler proche de celle d'un anneau noethérien, être artinien est beaucoup plus restrictif qu'être noethérien.

Anneau local
  Un anneau est dit local s'il est commutatif, et s'il admet un unique idéal maximal. Cet idéal est alors constitué par l'ensemble des éléments non inversibles.

C'est Claude Chevalley qui associe le premier le nom de Noether à la condition de croissance des chaînes d'idéaux.
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