Quelques anneaux particuliers
Un anneau A est principal s'il est commutatif, unitaire, intègre, et si tous ses idéaux sont principaux (c'est-à-dire qu'ils sont engendrés par un seul élément).
Exemple : Les anneaux $\mathbb Z$ et $\mathbb R[X]$ sont principaux.Un anneau commutatif A est noethérien si tout idéal de $A$ est engendré par un nombre fini d'éléments, c'est-à-dire si pour tout idéal $I$ de $A$, il existe des éléments $x_1,\dots,x_n$ de $A$ tel que tout élément de $I$ s'écrive $a_1x_1+\cdots+a_nx_n$, avec $a_i\in A$.
- $A$ est un anneau noethérien.
- toute suite d'idéaux de $A$ croissante pour l'inclusion est stationnaire.
- tout ensemble non vide d'idéaux de $A$ possède un élément maximal pour l'inclusion.
La plupart des anneaux "classiques" sont noethériens.
Un anneau A est dit factoriel s'il est intègre et s'il vérifie les deux propriétés suivantes :
- Tout élément non nul $a$ de $A$ s'écrit $a=up_1\cdots p_r$, où $u$ est un inversible de $A$, et où $p_1,\dots,p_r$ sont des irréductibles de $A$.
- Cette écriture est unique à permutation près, et à des inversibles près.
Autrement dit, les anneaux factoriels sont ceux pour lesquels il existe une unique décomposition en produit d'irréductibles. Il est possible de faire dans les anneaux factoriels de l'arithmétique comme dans $\mathbb Z$ : il y existe un pgcd, un ppcm, le théorème de Gauss y est vrai.
Un anneau $A$ est un anneau de Boole si pour tout $x$ de $A$, on a $x^2=x$.
Exemple : Soit $E$ un ensemble, et $\mathcal P(E)$ l'ensemble des parties de $E$. On définit sur $\mathcal P(E)$ des opérations $+$ et $\times$ par : $$A+B=(A\backslash B)\cup (B\backslash A)\quad A\times B=A\cap B.$$ Alors $\mathcal P(E)$ muni de ces deux opérations est un anneau de Boole.Soit $B$ un anneau, et $A$ un sous-anneau de $B$. Un élément $b$ de $B$ est entier sur $A$ s'il est racine d'un polynôme unitaire à coefficients dans $A$. Un anneau intègre $A$ est intégralement clos si tous les éléments de son corps des fractions entiers sur $A$ sont éléments de $A$.
Un anneau commutatif $A$ est artinien si toute suite d'idéaux décroissante pour l'inclusion est stationnaire. Même si la définition peut sembler proche de celle d'un anneau noethérien, être artinien est beaucoup plus restrictif qu'être noethérien.
Un anneau est dit local s'il est commutatif, et s'il admet un unique idéal maximal. Cet idéal est alors constitué par l'ensemble des éléments non inversibles.
C'est Claude Chevalley qui associe le premier le nom de Noether à la condition de croissance
des chaînes d'idéaux.