$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Anneaux et idéaux

L'ensemble des entiers relatifs $\mathbb Z$ est muni de deux opérations courantes : l'addition et la multiplication. Ces deux opérations sont associatives, commutatives, la multiplication est distributive par rapport à l'addition. Il y a en revanche une différence essentielle : l'addition possède un élément neutre, 0, la multiplication aussi, 1. Mais, si chaque entier $n$ possède un inverse pour l'addition, c'est-à-dire qu'il existe $b$ de $\mathbb Z$ avec $n+b=0$, il n'en est pas de même pour la multiplication. Par exemple, quels que soit $b$ de $\mathbb Z$, on n'a jamais $2b=1$.

Cette structure avec deux opérations est partagée par de nombreux ensembles (par exemple, les polynômes). Pour englober tout cela dans un cadre algébrique général, on a la définition suivante :

Définition : Soit $A$ un ensemble muni de deux lois de composition interne $+$ et $×$. On dit que $(A,+,×)$ est un anneau si :
  • $(A,+)$ est un groupe commutatif.
  • $×$ est associative.
  • $×$ est distributive par rapport à l'addition.

Si $×$ possède un élément neutre, l'anneau est dit unitaire (ceci est parfois supposé dans la définition d'un anneau). L'élément neutre pour $+$ est noté $0$, celui de $×$ est noté $1$. Si la loi $×$ est commutative, l'anneau est commutatif. Un élément $a$ de $A$ est inversible s'il l'est pour la loi $×$, c'est-à-dire s'il existe $b$ de $A$ avec $ab=ba=1$.

Une partie $B$ d'un anneau $A$ est un sous-anneau de $A$ si elle est elle-même un anneau pour les opération $+$ et $×$ qu'elle hérite de $A$. Contrairement aux sous-groupes, les sous-anneaux ne sont pas très étudiés. La sous-structure intéressante correspond plutôt à la notion de sous-groupe distingué :

Définition : Une partie $I$ de l'anneau $A$ est appelé idéal de l'anneau $A$ si :
  • $(I,+)$ est un sous-groupe de $(A,+)$.
  • Pour tout $x$ de $I$, et tout $a$ de $A$, alors $ax$ et $xa$ sont éléments de $I$.
Précisément, un tel idéal est appelé idéal bilatère. Si on a simplement "Pour tout $x$ de $I$, et tout $a$ de $A$, $ax$ appartient à $I$", on parle d'idéal à gauche.

Exemple : Les idéaux de $\mathbb Z$ sont les n$\mathbb Z$.

Définition :Si $A$ et $B$ sont deux anneaux, on appelle morphisme d'anneaux de $A$ dans $B$ toute application $f:A\to B$ qui vérifie $f(x+y)=f(x)+f(y)$ et $f(xy)=f(x)f(y)$.

Lorsque les anneaux sont unitaires, on suppose aussi parfois que $f(1_A)=1_B.$

Exemple : Si $e$ est l'élément unité de $A$, l'application $$\begin{array}{rcl} f:\mathbb Z&\to&A\\ n&\mapsto& ne\end{array}$$ est un morphisme d'anneau. Son noyau est un idéal de $\mathbb Z$, il est donc de la forme $q\mathbb Z$, où $q\geq 0$. La caractéristique de $A$ est par définition cet entier $q$.

Consulter aussi...