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Anneaux et idéaux

  L'ensemble des entiers relatifs $\mathbb Z$ est muni de deux opérations courantes : l'addition et la multiplication. Ces deux opérations sont associatives, commutatives, la multiplication est distributive par rapport à l'addition. Il y a en revanche une différence essentielle : l'addition possède un élément neutre, 0, la multiplication aussi, 1. Mais, si chaque entier n possède un inverse pour l'addition, c'est-à-dire qu'il existe b de $\mathbb Z$ avec n+b=0 (b=-n), il n'en est pas de même pour la multiplication. Par exemple, quels que soit b de $\mathbb Z$, on n'a jamais 2b=1.

  Cette structure avec deux opérations est partagée par de nombreux ensembles (par exemple, les polynômes). Pour englober tout cela dans un cadre algébrique général, on a la définition suivante :

Définition : Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne + et ×. On dit que (A,+,×) est un anneau si :
  • (A,+) est un groupe commutatif.
  • × est associative.
  • × est distributive par rapport à l'addition.
  Si × possède un élément neutre, l'anneau est dit unitaire (ceci est parfois supposé dans la définition d'un anneau). L'élément neutre pour + est noté 0, celui de × est noté 1. Si la loi × est commutative, l'anneau est commutatif. Un élément a de A est inversible s'il l'est pour la loi ×, c'est-à-dire s'il existe b de A avec ab=ba=1.

  Une partie B d'un anneau A est un sous-anneau de A si elle est elle-même un anneau pour les opération + et × qu'elle hérite de A. Contrairement aux sous-groupes, les sous-anneaux ne sont pas très étudiés. La sous-structure intéressante correspond plutôt à la notion de sous-groupe distingué :

Définition : Une partie I de l'anneau A est appelé idéal de l'anneau A si :
  • (I,+) est un sous-groupe de (A,+).
  • Pour tout x de I, et tout a de A, alors ax et xa sont éléments de I.
Précisément, un tel idéal est appelé idéal bilatère. Si on a simplement "Pour tout x de I, et tout a de A, ax appartient à I", on parle d'idéal à gauche.
Exemple : Les idéaux de $\mathbb Z$ sont les n$\mathbb Z$.
Définition :Si A et B sont deux anneaux, on appelle morphisme d'anneaux de A dans B toute application f:A->B qui vérifie f(x+y)=f(x)+f(y) et f(xy)=f(x)f(y).
Lorsque les anneaux sont unitaires, on suppose aussi parfois que f(1A)=1B.
Exemple : Si e est élément unité de A, l'application
est un morphisme d'anneau. Son noyau est un idéal de $\mathbb Z$, il est donc de la forme q$\mathbb Z$, où q>=0. La caractéristique de A est par définition cet entier q.
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