Raisonnement par analyse-synthèse

Fondements -- Démonstrations

  Le raisonnement par analyse-synthèse est un type de raisonnement mathématique permettant de démontrer l'existence et l'unicité d'un objet vérifiant des propriétés données. Il se décompose en deux parties :
  1. l'analyse : on suppose que l'objet existe et on essaie de trouver des conditions nécessaires que doit vérifier cet objet. Ce faisant, on prouve que si l'objet existe, alors il est nécessairement égal à une certain objet O0 (ceci assure l'unicité).
  2. la synthèse : on considère l'objet O0 identifié dans la partie analyse, et on vérifie qu'il a bien les propriétés voulues (ceci assure l'existence).
  Voici un exemple très classique de raisonnement par analyse-synthèse : on souhaite prouver que toute fonction f définie sur R s'écrit de manière unique comme somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. A première vue, cela semble être un problème difficile, on ne voit vraiment par comment choisir p et i en fonction de f. On va traiter ce problème par analyse-synthèse.

Analyse : On suppose que f=p+i, où p est paire et i est impaire. Fixons x dans R et calculons f(-x) :
f(-x)=p(-x)+i(-x)=p(x)-i(x)
puisque p est paire et i est impaire. Comme on a aussi
f(x)=p(x)+i(x)
on a en effectuant la somme des deux équations
p(x)=(f(x)+f(-x))/2
et, en effectuant la différence :
i(x)=(f(x)-f(-x))/2.

Ainsi, si p et i existent, ils s'écrivent nécessairement comme ci-dessus. Ceci montre l'unicité d'une décomposition, si elle existe, mais on n'a pas encore prouvé l'existence (d'ailleurs, notre raisomment a commencé par "On suppose qu'une décomposition existe..."). Pour prouver l'existence, on doit encore faire la

Synthèse : Posons
p(x)=(f(x)+f(-x))/2
et
i(x)=(f(x)-f(-x))/2.
Alors :
  • f=p+i : c'est évident.
  • p est paire : en effet, on a
    p(-x)=(f(-x)+f(x))/2=(f(x)+f(-x))/2=p(x).
  • i est impaire : en effet, on a
    i(-x)=(f(-x)-f(-x))/2=-(f(x)-f(-x))/2=-i(x).
Ceci prouve l'existence de la décomposition.

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