Groupe alterné
Pour $n\geq 2$ un entier naturel, le groupe alterné $A_n$ est l'ensemble des éléments du groupe symétrique $S_n$ qui sont de signature 1 (c'est-à-dire l'ensemble des permutations paires de $\{1,\dots,n\}$). C'est un groupe, car c'est le noyau de la signature qui est un morphisme de groupes. Il sert souvent lorsqu'on souhaite donner des contre-exemples dans la théorie des groupes.
Le groupe alterné possède les propriétés suivantes :
Théorème : Soit $n\geq 2$.
- $A_n$ est un sous-groupe distingué de $S_n$. Son cardinal est $\frac{n!}2.$
- Les $3$-cycles engendrent $A_n$. Ils sont conjugués entre eux lorsque $n\geq 5.$
- Le centre de $A_n$ est $\{\textrm{id}\}$ sauf pour $n=3$. Le centre de $A_3$ est $A_3$ (et donc $A_3$ est commutatif).
- $A_n$ est simple pour $n=3$ ou $n\geq 5$.
- Le groupe dérivé de $A_n$ est isomorphe à $$\left\{\begin{array}{ll} \{\textrm{id}\}&\textrm{ pour }n=2,3\\ \mathbb Z/2\mathbb Z\times\mathbb Z/2\mathbb Z&\textrm{ pour }n=4\\ A_n&\textrm{ pour }n\geq 5. \end{array}\right.$$
- Le groupe des automorphismes de $A_n$ est isomorphe à $$\left\{\begin{array}{ll} \{\textrm{id}\}&\textrm{ pour }n=2\\ \mathbb Z/2\mathbb Z&\textrm{ pour }n=3\\ S_6\rtimes \mathbb Z/2\mathbb Z&\textrm{ pour }n=6\\ S_n&\textrm{ sinon.} \end{array}\right.$$
La structure du groupe alterné $A_5$ est particulièrement importante. En montrant qu'il n'admet pas de sous-groupe distingué, Galois a prouvé qu'il existait des équations du 5ème degré qui ne sont pas résolubles par radicaux.Consulter aussi
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