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Elément algébrique, transcendant


  On dit qu'un réel a est algébrique s'il est racine d'un polynôme à coefficients entiers. Dans le cas contraire, il est dit transcendant.

Exemple :
  • racine de 2 est algébrique : il est racine de X2-2.
  • pi, e sont des nombres transcendants; la transcendance du premier est dûe à Lindemann, celle du second à Hermite.
  Plus généralement, si k est un corps, si u est élément d'une extension de k,on dit que u est algébrique sur k si u est racine d'un polynôme à coefficients dans k. Dans le cas contraire, u est dit transcendant.

Historiquement, la première preuve d'existence de nombres transcendants date de 1844 : il s'agit des nombres de Liouville, qui ont été construits spécialement pour cela. En revanche, il est plus difficile de déterminer si un nombre donné est transcendant. Les preuves de la transcendance de e (par Hermite en 1872) et de pi (par Lindemann en 1882) sont assez délicates. Et on ne sait toujours pas si (e+pi) et 2e par exemple sont transcendants!

Cantor a aussi démontré à la fin du siècle l'existence d'un très grand nombre d'éléments transcendants : sa preuve utilisait sa toute nouvelle théorie des ensembles infinis, qui était regardée avec méfiance par ses contemporains (Cantor prouve en fait que l'ensemble des éléments algébriques est dénombrable, et comme l'ensemble des réels ne l'est pas, l'ensemble des éléments transcendants est infini non dénombrable).

Signalons un des résultats les plus forts de la théorie des nombres transcendants :
Théorème (Gelfond-Schneider 1934) : si a et b sont deux réels algébriques, avec a différent de 0 et 1, et b irrationnel, alors ab est transcendant.
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