L'algèbre désigne généralement la partie des mathématiques qui s'intéressent à l'étude de certains ensembles sur lesquels on a mis une certaine structure, dite structure algébrique. Ainsi, au collège, on peut dire que tout le calcul avec parenthèses, les identités remarquables, etc..., sont de l'algèbre puisqu'ils s'intéressent à un ensemble (généralement, celui des entiers, ou des réels) muni des opérations d'addition, de multiplication habituelles, et que l'on regarde simplement les propriétés de ces opérations... L'algèbre linéaire est l'étude de certains ensembles muni d'une structure très particulière : les espaces vectoriels.

  Une algèbre désigne aussi un objet précis en mathématiques. Un ensemble E a une structure d'algèbre sur le corps K (on dit aussi K-algèbre) s'il est muni de trois lois de composition : deux lois de composition interne (l'une notée +, l'autre notée ×) et une loi de composition externe (notée .) satisfaisant aux conditions suivantes :

1. E muni de la loi + et de la loi . est un espace vectoriel sur K.
2. La loi × est distributives par rapport à la loi +.
3. Pour tout couple (a,b) d'éléments de K, et tout couple (x,y) d'éléments de E, on a : (a.x)×(b.y)=(ab).(x×y)

Si la loi × est associative (autrement dit, si E est muni de + et × est un anneau), l'algèbre est dite associative - c'est ce qui arrive le plus souvent, et c'est parfois ce qui est pris directement comme définition - . Si la loi × est commutative, l'algèbre est dite commutative.

Le mot algèbre vient de l'arabe al jabr, littéralement la remise en place, terme utilisé pour la première fois dans un sens mathématique par al Khwarizmi vers 800 après JC. L'al jabr désigne pour lui le fait de transformer une soustraction d'un membre d'une égalité en une addition dans un autre membre, par exemple le passage de x-3=x² à x=x²+3. Le livre d'Al Khwarizmi, Kitab al jabr w'al muqabalah, où il traite de façon systématique les équations du second degré, voit sans doute l'introduction réelle de l'algèbre moderne.