$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Espace affine

Espace affine

On dit qu'un ensemble $\mathcal E$ est un espace affine s'il existe un espace vectoriel $E$ et une application de $\mathcal E\times E$ dans $\mathcal E$ qui au point $A$ et au vecteur $\vec u$ associe un point de $\mathcal E$ noté $A+\vec u$ vérifiant

  • $\forall A\in \mathcal E,\ \forall \vec u,\vec v\in E,\ (A+\vec u)+\vec v=A+(\vec u+\vec v)$;
  • $\forall (A,B)\in\mathcal E^2,\ \exists ! \vec u\in E,\ A+\vec u=B$.

L'espace vectoriel $E$ s'appelle alors la direction de l'espace affine $\mathcal E$.

Un espace affine peut être vu comme un espace vectoriel dont on a oublié l'origine. Pour $A\in \mathcal E$, $\vec u\in E$ et $B=A+\vec u$, on note $\vec u=\overrightarrow{AB}$. Le point $A$ étant fixé, l'application $\theta_A:\mathcal E\to E,\ B\mapsto \overrightarrow{AB}$ est une bijection.

Les espaces affines sont les bons cadres pour la géométrie où n'interviennent que les notions de parallélisme.

Sous-espace affine

Une partie $\mathcal F$ d'un espace affine $\mathcal E$ de direction $E$ est un sous-espace affine s'il est vide ou s'il contient un point $A$ tel que $F=\{\overrightarrow{AB};\ B\in\mathcal F\}$ est un sous-espace vectoriel de $E$. La dimension de $\mathcal F$ est la dimension de $F$. Les sous-espaces affines de dimension 0 sont les points, les sous-espaces affines de dimension 1 sont les droites.

Repère affine

Un repère affine de $\mathcal E$ de direction $E$ est une suite de points $(A_0,\dots,A_n)$ tels que $(\overrightarrow{A_0A_1},\dots,\overrightarrow{A_0A_n})$ est une base de l'espace vectoriel $E$. Un point $A$ de l'espace affine $\mathcal E$ est alors uniquement déterminé par des scalaires $(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ tels que $$\overrightarrow{A_0A}=\alpha_1\overrightarrow{A_0A_1}+\cdots+\alpha_n\overrightarrow{A_0A_n}.$$ On dit que $(\alpha_1,\dots,\alpha_n)$ sont les coordonnées de $A$ dans le repère affine $(A_0,A_1,\dots,A_n)$.

Applications affines

Soit $\mathcal E$ et $\mathcal F$ deux espaces affines de directions respectives $E$ et $F$. Une application $\phi:\mathcal E\to\mathcal F$ est une application affine s'il existe une application linéaire $\overrightarrow{\phi}:E\to F$ telle que, pour tous $A,B\in\mathcal E$, $\phi(B)=\phi(A)+\overrightarrow{\phi}(\overrightarrow{AB})$. L'application linéaire $\overrightarrow\phi$ est alors appelée la partie linéaire de $\phi$.

Réciproquement, si on fixe deux points $A$ de $\mathcal E$ et $A'$ de $\mathcal F$ et une application linéaire $f:E\to F$, alors l'application $\phi:\mathcal E\to\mathcal F,\ B\mapsto A'+f(\overrightarrow{AB})$ est une application affine. Autrement dit, pour déterminer une application affine, il suffit de connaitre sa partie linéaire et l'image d'un point.

Les translations sont un bon exemple de transformations affines. Précisément, ce sont les applications affines pour lesquelles la partie linéaire est l'identité.

On appelle groupe affine de $\mathcal E$ l'ensemble des applications affines de $\mathcal E$ qui sont aussi des bijections. Le groupe affine de $\mathcal E$ est un groupe pour la loi de composition des applications.