$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Endomorphisme adjoint

Théorème et définition : Soit $E$ un espace euclidien ou hermitien, et $u$ un endomorphisme de $E$. Il existe un unique endomorphisme $u^*$ de $E$, appelé adjoint de $u$, tel que $$\forall x,y\in E,\ \langle u(x),y\rangle=\langle x,u^*(y)\rangle.$$

Le théorème reste vrai si $E$ est un espace de Hilbert et si $u$ est un endomorphisme continu de $E$.

L'adjoint possède les propriétés suivantes :

  • Pour tous $u,v\in\mathcal L(E)$, on a $$(u^*)^*=u\textrm{ et }(uv)^*=v^*u^*.$$
  • Si $A$ est la matrice de $u$ dans une base orthonormale de $E$, alors $A^T$ (cas réel) ou $A^*$ (cas complexe) est la matrice de l'adjoint $u^*$ dans cette même base. En particulier, le déterminant de $u^*$ (resp. son polynôme caractéristique, resp. son spectre, resp. son polynôme minimal) est le conjugué de celui de $u$.
  • On a $\ker(u^*)=(\textrm{Im}(u))^\perp$.
  • Si $F$ est un sous-espace de $E$ stable par $u,$ alors $F^\perp$ est stable par $u^*.$
  • Pour la norme subordonnée à la norme euclidienne sur $E$, on a $\|u^*\|=\|u\|$.
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