$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Droite réelle achevée

  La droite réelle achevée est l'ensemble $\overline{\mathbb R}$ constituée de $\mathbb R$ auquel on ajoute deux éléments notés $+\infty$ et $-\infty$ : $$\overline{\mathbb R}=\mathbb R\cup\{+\infty\}\cup\{-\infty\}.$$   Ainsi définie, la droite réelle achevée n'est qu'une notation commode, qui permet d'éviter de séparer les cas "un réel" et "l'infini" dans les énoncés. Par exemple, les intervalles ouverts sont ceux qui s'écrivent $]a,b[$ avec $a,b\in\overline{\mathbb R}$.

  On peut aussi munir la droite réelle achevée de diverses structures :
  • on étend l'ordre de $\mathbb R$ à $\overline{\mathbb R}$ par $-\infty\leq x\leq +\infty$ pour tout $x\in\mathbb R$;
  • on peut étendre la topologie de $\mathbb R$ à $\overline{\mathbb R}$ en définissant les voisinages de $+\infty$ comme les ensembles contenant un intervalle du type $[a,+\infty[$, $a\in \mathbb R$ et les voisinages de $-\infty$ comme les ensembles contenant un intervalle du type $]-\infty,a]$, $a\in\mathbb R$. Une distance compatible est $$d(x,y)=|\arctan y-\arctan x|$$ avec les conventions $\arctan(+\infty)=\pi/2$ et $\arctan(-\infty)=-\pi/2$. Muni de cette topologie, $\overline{\mathbb R}$ est compact.