$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Point d'accumulation

  Soient $E$ un espace topologique, $A$ une partie non vide de $E$, et $a\in E$. On dit que le point $a$ est un point d'accumulation de $A$ s'il est adhérent à $A$ sans être isolé dans $A$, autrement dit, si $a$ est un point d'adhérence de $A\backslash \{a\}$.

Exemple : Pour $A=\{-1\}\cup[0,1[$, 1 est un point d'accumulation, mais -1 ne l'est pas.

Dans le cas des espaces métriques, ou des espaces vectoriels normés, on dispose d'une description plus "parlante" des points d'accumulation :

Théorème : Soient $E$ un espace métrique, $A$ une partie de $E$ et $a$ un élément de $E$. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
  • $a$ est point d'accumulation de $A$
  • il existe une suite injective de points de $A$ convergeant vers $a$.
  • tout voisinage de $a$ contient une infinité de points de $A$.

  En particulier, l'ensemble des points d'accumulation de $A$ est un fermé.


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