$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Accroissement - Théorèmes des accroissements finis

Égalité des accroissements finis
  Si $f$ est une fonction $[a,b]\to \mathbb R$, et si $x_0$ et $x_1$ sont éléments de $[a,b]$, on appelle accroissement (absolu) de la fonction entre $x_0$ et $x_1$ le nombre $f(x_1)-f(x_0)$, et accroissement relatif le quotient : $\displaystyle\frac{f(x_1)-f(_0)}{x_1-x_0}$. L'accroissement relatif correspond à la pente de la droite entre les points $(x_0,f(x_0))$ et $(x_1,f(x_1))$.

Théorème des accroissements finis : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$. Alors il existe $c$ appartenant à $]a,b[$ tel que : $$f(b)-f(a)=f'( c)(b-a).$$
Ce théorème a plusieurs interprétations :
  • Graphiquement, cela signifie qu'il existe un point $c$ où la tangente à la courbe représentative de $f$ au point $(c,f( c))$ est parallèle à la corde passant par $(a,f(a))$ et par $(b,f(b))$.
  • Cinématiquement : si une voiture a réalisé un trajet en roulant à une vitesse moyenne de 90 km/h, alors à un moment du trajet sa vitesse instantanée a été 90 km/h.

  L'égalité des accroissements finis est un théorème vraiment très important. C'est grâce à ce théorème que l'on peut démontrer qu'une fonction dont la dérivée est positive est croissante.
Inégalité des accroissement finis
  Dans le cas des fonctions à valeurs dans $\mathbb C$ ou dans $\mathbb R^n$, l'égalité des accroissements finis n'est plus valable, ainsi que le montre la fonction $f$ définie par $f(t)=(\cos(t),\sin(t))$. On a $f(0)=f(2\pi)$, mais la dérivée ne s'annule jamais! En revanche, on a les résultats suivants, appelés inégalités des accroissements finis :

Inégalité des accroissements finis : Soit $f:[a,b]\to\mathbb C$ une fonction continue sur $[a,b]$, et dérivable sur $]a,b[$. On suppose de plus qu'il existe $M>0$ tel que, pour tout $t\in [a,b]$, $|f'(t)|\leq M$. Alors : $$|f(b)-f(a)|\leq M|b-a|.$$

Théorème : Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $[a,b]$, $f$ à valeurs dans $\mathbb R^n$, $g$ à valeurs dans $\mathbb R$. On suppose que $f$ et $g$ sont continues sur $[a,b]$, dérivables sur $]a,b[$, et vérifient $$\forall t\in]a,b[,\ \|f'(t)\|\leq g'(t).$$ Alors on a : $$\|f(b)-f(a)\|\leq g(b)-g(a).$$
Cette forme suffit pour de nombreuses applications, comme l'inégalité de Taylor-Lagrange par exemple.


Fonctions de plusieurs variables
  L'inégalité des accroissements finis se généralise aux fonctions de plusieurs variables.

Théorème : Soient $U$ un ouvert de $\mathbb R^n$ et $f$ une fonction différentiable sur $U$ à valeurs dans $\mathbb R^p$. Soient encore $a$ et $b$ deux points de $U$ tels que le segment $[a,b]$ soit contenu dans $U$. On suppose qu'il existe un réel positif $k$ tel que la norme de la différentielle $df_x$ vérifie $$\|df_x\|\leq k$$ pour tout $x\in [a,b]$. Alors $$\|f(b)-f(a)\|\leq k\|b-a\|.$$
  En particulier, le théorème précédent s'applique lorsque $U$ est un ouvert convexe, pour tous les points $a$ et $b$ de $U$.

Remarquons que le théorème des accroissements finis, sous une forme ou une autre, intervient dans la démonstration de la plupart des résultats principaux du calcul différentiel (différentiabilité d'une fonction dont les dérivées partielles existent et sont continues, théorème de Schwarz,...).
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