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Accélération de convergence

  Soit une suite (un) dont on a réussi à prouver la convergence vers une limite l. Bien souvent, il est important d'avoir une valeur approchée de cette limite l. On peut en obtenir avec la suite (un), mais on va chercher à calculer le moins de termes possibles pour une approximation donnée afin :
  • d'éviter les erreurs d'arrondi de la calculatrice/ou de l'ordinateur.
  • d'avoir à effectuer moins de calculs.
Le procédé qui consiste à remplacer une suite (un) qui converge vers l par une autre suite (vn) qui converge toujours vers l, mais plus rapidement, s'appelle accélération de convergence. Nous allons présenter deux méthdodes :

Méthode de Richardson
  On suppose que la suite (un) converge vers l avec le développement limité suivant : un=l-akn+O(rn), avec 0<|r|<|k|. L'idée est de poser vn=un+akn, qui converge plus vite vers l.

  Le problème est que souvent, la constante a n'est pas connue (ou au moins on n'en connait pas de valeur exacte, juste une valeur approchée). L'idée de la méthode de Richardson est d'éliminer le a non connu par une combinaison linéaire de un et un+1. Concrètement,
Théorème : (vn) converge vers l avec le développement limité vn=l+O(rn).
Cette méthode s'applique notamment à la méthode des trapèzes pour calculer la valeur approchée d'une intégrale. Elle prend alors le nom de Romberg-Richardson, et est effectivement employée dans les logiciels comme Maple ou les calculatrices.

Méthode de Aitken
  On suppose toujours que la suite (un) converge vers l avec le développement limité suivant : un=l-akn+O(rn), avec 0<|r|<|k|, mais maintenant nous supposons que l'on ne connait pas la valeur exacte de a et k. On pose alors :
Théorème : (vn) converge vers l avec le développement limité vn=l+O(rn).