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Raisonnement par l'absurde


  Soit une propriété (P) dont on désire montrer qu'elle est fausse. Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que cette propriété est vraie et à aboutir à une contradiction. Nous allons par exemple démontrer par l'absurde qu'il n'existe aucun nombre rationnel dont le carré soit égal à 2. Pour ce faire, supposons qu'il en existe un (ie on suppose la propriété vraie) et écrivons :

$\displaystyle \sqrt{2}=\frac{p}{q},\textrm{ où $p$ et $q$ sont premiers entre eux.}$

Alors en élévant au carré, $ p^2=2q^2$. $ p^2$ est donc un nombre pair. Or, si p était impair et s'écrivait donc 2k+1, p2=4k2+4k+1 serait aussi impair. Ceci entraîne que $ p=2k$ est pair. Alors $ q^2=2k^2$, donc q2 est pair, et donc q est pair.
On arrive à une contradiction, car on a supposé que $ p$ et $ q$ sont premiers entre eux, et on a montré que 2 divise ces nombres. C'est donc que l'hypothèse faite est fausse.