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Variable aléatoire absolument continue

Définition : On dit qu'une variable aléatoire $X$ est absolument continue s'il existe une fonction $f$, positive et intégrable, telle que, pour tout intervalle $I$ de $\mathbb R$, on ait :
On dit alors que $f$ est la densité de probabilité de X, ou encore que $X$ est une variable aléatoire absolument continue ou encore une variable aléatoire à densité.
  Les variables aléatoires absolument continues s'opposent aux variables aléatoires discrètes par le fait qu'elles prennent un nombre infini non dénombrable de valeurs. En outre, pour tout x de R, on a P(X=x)=0.

  Déterminer la loi d'une variable aléatoire X revient donc à déterminer sa densité f. Celle-ci est aussi liée à la fonction de répartition F de X. On prouve en effet qu'en tout point où f est continue, F est dérivable et F'(x)=f(x).

Ex : Les sauts d'une puce.

  Une puce se déplace aléatoirement à l'intérieur d'un cercle de centre O et de rayon R. On note X la distance de la puce au centre. Si on suppose que toutes les positions sont équiprobables, alors on a :
En dérivant F, on vérifie que X est une variable absolument continue, dont la densité est donnée par :