$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Transformation et critère d'Abel


  La transformation d'Abel est une transformation que l'on effectue sur certaines séries, en particulier trigonométriques, en vue de prouver leur convergence. C'est l'analogue de l'intégration par parties pour les intégrales impropres, et elle s'emploie pour les séries du type $ \frac{\sin n}{n},\frac{e^{in\theta}}{n}$ par exemple. Elle consiste en la procédure suivante. Si $u_k=a_kb_k$, on pose $A_n=\sum_{k=0}^na_k$, ce qui donne aussi $a_k=A_k-A_{k-1}$. La transformation d'Abel consiste alors à écrire : $$\displaystyle \sum_{k=0}^na_kb_k=a_0b_0+\sum_{k=1}^n(A_k-A_{k-1})b_k=a_0b_0-A_0b_1+A_nb_n+\sum_{k=1}^{n-1}A_k(b_k-b_{k+1}).$$   Cette transformation amène au critère d'Abel de convergence des séries :

Théorème : Soient $(a_n)$ et $(b_n)$ deux suites de nombres complexes vérifiant les propriétés suivantes :
  • La suite $(A_n)$ définie par $A_n=\sum_{k=0}^na_k$ est bornée.
  • La série $\sum_{k=0}^{+\infty}\vert b_k-b_{k+1}\vert$ est convergente.
  • $(b_n)$ tend vers 0.
Alors la série $\sum_{n=0}^{+\infty}a_nb_n$ est convergente.
  Une autre application de cette transformation est le critère de Dirichlet de convergence des séries.
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