$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorème d'Abel

Présentation
  Soit une série entière de rayon de convergence R. Son comportement à l'intérieur du disque de convergence est très bon : on a convergence uniforme sur tous les compacts, la fonction est de classe Cinfini. En revanche, sur le bord de ce disque, le cercle de centre O et de rayon R, des choses très différentes peuvent se produire, comme par exemple :
  • la série peut converger partout, comme
  • la série peut converger partout sauf en un point, comme
  • la série peut diverger partout, comme
Plus étonnant, même si la série converge en un point z0 du bord, la fonction S n'est pas forcément continue en z0...sauf si on limite l'angle d'approche!

Cas réel
Soit une série entière de rayon de convergence R, on suppose que converge. Alors S est continue sur [0,R].
On peut même démontrer que la série converge uniformément sur [0,R].

Cas complexe
Soit une série entière de rayon de convergence R, z0 un point de C telle que |z0|=R et la série converge en z0, et Soit A l'ensemble
Alors S est continue sur la réunion de A et de {z0}.
  Ce théorème a la signification suivante : si zn converge vers z0 en restant dans un cône (non-tangentiellement), alors S(zn) converge vers S(z0). En revanche, il est tout à fait possible que si z tend vers z0 sans rester dans un de ces cônes (on parle de convergence tangentielle), alors S(z) ne converge pas vers S(z0).

Comme on peut s'en douter, la preuve du théorème d'Abel est basée sur....une transformation d'Abel!
Consulter aussi...