$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Théorème d'Abel

Présentation

Soit une série entière de rayon de convergence R. Son comportement à l'intérieur du disque de convergence est très bon : on a convergence uniforme sur tous les compacts, la fonction est de classe $\mathcal C^\infty$. En revanche, sur le bord de ce disque, le cercle de centre O et de rayon R, des choses très différentes peuvent se produire, comme par exemple :

  • la série peut converger partout, comme
  • la série peut converger partout sauf en un point, comme
  • la série peut diverger partout, comme

Plus étonnant, même si la série converge en un point $z_0$ du bord, la fonction $S$ n'est pas forcément continue en $z_0$...sauf si on limite l'angle d'approche!

Cas réel
Soit $S(x)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_nx^n$ une série entière de rayon de convergence $R$. On suppose que $\sum_n a_n R^n$ converge. Alors $S$ est continue sur $[0,R]$.

On peut même démontrer que la série converge uniformément sur $[0,R]$.

Cas complexe
Soit $S(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_nz^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Soit $z_0\in\mathbb C$ avec $|z_0|=R$ et tel que la série converge en $z_0$. Soit $\theta_0\in [0,\pi/2[$ et $A$ l'ensemble $$A=\left\{z\in\mathbb C;\ |z|<1\textrm{ et }\exists\rho>0,\ \exists\theta\in]-\theta_0,\theta_0[,\ z=1-\rho e^{i\theta}\right\}.$$ Alors $S$ est continue sur $A\cup\{z_0\}$.

Ce théorème a la signification suivante : si $(z_n)$ converge vers $z_0$ en restant dans un cône (non-tangentiellement), alors $(S(z_n))$ converge vers $S(z_0)$. En revanche, il est tout à fait possible que si $(z_n)$ tend vers $z_0$ sans rester dans un de ces cônes (on parle de convergence tangentielle), alors $(S(z_n))$ ne converge pas vers $S(z_0)$.

Comme on peut s'en douter, la preuve du théorème d'Abel est basée sur....une transformation d'Abel!
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