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Sommabilité au sens d'Abel

Définition : Une série est sommable au sens d'Abel si, lorsqu'on définit la série entière
alors cette série converge pour x dans [0,1[, et si f(x) admet une limite finie L quand x tend vers 1.

  Prenons par exemple an=(-1)n. La série n'est pas convergente. En revanche, pour x dans [0,1[, on a
et ceci tend vers 1/2 si x tend vers 1. Ainsi, nous obtenons une série divergente, mais sommable au sens d'Abel.

  En revanche, toute série convergente est aussi sommable au sens d'Abel, et les limites sont identiques : c'est le théorème d'Abel pour les séries entières.
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