Sommabilité au sens d'Abel
Définition : Une série $\sum_n a_n$ est sommable au sens d'Abel si,
lorsqu'on définit la série entière
$$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$$
alors cette série converge pour $x$ dans $[0,1[$, et si $f(x)$ admet une limite finie $L$ quand $x$ tend vers $1$.
Prenons par exemple $a_n=(-1)^n$. La série $\sum_{n\geq 1}a_n$ n'est pas convergente. En revanche, pour $x$ dans $[0,1[$, on a

En revanche, toute série convergente est aussi sommable au sens d'Abel, et les limites sont identiques : c'est le théorème d'Abel pour les séries entières.
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