Soit ABC un triangle, et M un point du cercle circonscrit à ABC. Alors les projetés orthogonaux de M sur les côtés du triangle sont alignés; la droite qui les contient s'appelle droite de Simson du triangle.   Démontrons ce résultat, et même un peu plus... Prenons M un point quelconque du plan, et notons P,Q et R les projetés orthogonaux de M sur les droites (AB), (BC) et (CA). Puisque les triangles APM et ARM sont rectangles respectivement en P et en R, les points A,M,P et R sont sur le cercle de diamètre [AM]. D'autre part, puisque deux angles inscrits qui intersectent le même arc sont égaux, on a : (RP,RM)=(AP,AM) (mod pi) De même, on a : (RM,RQ)=(CM,CQ) (mod pi) Par la relation de Chasles, (RP,RQ)=(RP,RM)+(RM,RQ) On en déduit : ce qui est équivalent à dire que M appartient au cercle circonscrit à ABC. L'alignement de P,Q et R caractérise donc le fait que M est sur le cercle circonscrit à ABC.

  Pour terminer, on peut aussi remarquer que la droite de Simson est la médiatrice de [OM] où O est l'orthocentre du triangle. Par ailleurs, le milieu de [OM] appartient au cercle des neuf points du triangle ABC.

Il semble que le nom de droite de Simson fut donné à cette droite par Poncelet. Pourtant, elle n'apparait nulle part dans les travaux de Simson, et il semble qu'elle devrait plutôt être attribuée à Wallace.

    •cercle des neuf points
    •Droite de Steiner