Qu'est-ce qu'un point fixe???

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  Soit E un ensemble et f : E->E une application. On dit que x E est un point fixe de f si f(x)=x. Si l'application va de R dans R, cette propriété se traduit graphiquement par le fait que la courbe représentative de f et la première bissectrice du repère se coupent en le point (x,x).

Une des premières applications de la notion de point fixe est la relation avec les suites récurrentes :

Prop : Soit f:E->E une fonction continue, et (un) une suite récurrente définie par u0E et un+1=f(un). Alors si (un) converge, cela ne peut être que vers un point fixe de f.

Attention! Cette proposition ne dit en aucun cas que la suite récurrente admet une limite....
En revanche, si par une méthode quelconque, on prouve que (u_n) admet une limite, alors ce ne peut être que vers un point fixe de f.

L'équation f(x)=x s'appelle alors équation aux limites possibles.
La démonstration du résultat précédent est très facile : il suffit de passer à la limite dans l'égalité u_n+1=f(u_n) , ce qui est légitime puisque f est continu.

Le théorème du point fixe sur R

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Théorème : Soit I un intervalle fermé de R. f : I->I une application contractante, ie il existe k[0,1[ tq pour tout (x,y)I, |f(x)-f(y)|k|x-y|. Alors f possède un unique point fixe l. De plus, toute suite définie par u0I, un+1=f(un), converge vers cet unique point fixe, et on a les estimations suivantes : |un-l|kn|u0-l|. |un-l|k/(1-k)|un-un-1|

Démonstration : On ne va faire la démonstration que dans le cas où I=[a,+[, les autres cas se faisant de façon relativement similaire. Tout est dans l'interprétation géométrique suivante!

  La courbe représentative de f se trouve dans le cône tracé en bleu. Mais les lignes directrices de ce cône ont pour coefficient directeur + ou - k, et la droite y=x qui se trouve au départ sous le cône commence à le traverser, puis à passer au dessus. Comme on trace f "sans lever le crayon", les courbes doivent se croiser (c'est typiquement un résultat de connexité, similaire au théorème des valeurs intermédiaires que l'on va d'ailleurs appliquer!)
On définit donc, pour xI, l'application g(x)=f(x)-x. Elle vérifie g(a)0. En outre, on a f(x)k(x-a)+f(a), donc g(x)(k-1)x-ka+f(a), et donc g tend vers moins l'infini en plus l'infini. Appliquant le théorème des valeurs intermédiaires, on trouve l avec g(l)=0, et donc f(l)=l.

  Voyons maintenant l'unicité de ce point fixe. S'il y a deux points fixes l et l', alors on a : |l-l'|=|f(l)-f(l')|k|l-l'|, et comme k<1, ceci n'est possible que si l=l'.

  On va directement prouver l'inégalité 1. pour prouver la convergence de la suite. On la démontre par récurrence, étant donné qu'elle est clairement vérifiée si n=0. Pour passer du rang n au rang n+1, on écrit : |u_n+1-l|=|f(u_n)-f(l)|k|u_n-l|kⁿ⁺¹|u₀-l|.
  Pour l'autre inégalité, on remarque que |u_n+1-u_n|k|u_n-u_n-1|, et donc par récurrence : |u_n+p-u_n+p-1|k^p|u_n-u_n-1|. Alors :

|un+p-un|		|un+p-un+p-1|+...+|un+1-un|
		(kp...+k)|un-un-1|
		k(1-kp)/(1-k)|un-un-1|

  On fait tendre p vers plus l'infini, et on en déduit le résultat!

Remarque : L'un des intérêts de ce théorème est d'avoir les estimations de la vitesse de convergence de la suite vers sa limite : la première inégalité montre en particulier que la convergence est géométrique. La seconde est utile lors des calculs informatiques, car à chaque étape elle donne un majorant de la distance à la limite en fonction d'une quantité connue.

Nous nous plaçons désormais dans le cas particulier où f est (continûment) dérivable sur I. Il est bien connu (c'est l'inégalité des accroissements finis) que la condition sur f est équivalente à |f'|k. Nous allons étudier comment se comporte la convergence de la suite, en fonction du signe de f'(l).

f'(l)>0	f'(l)<0
On montre facilement qu'au voisinage de l, la suite est monotone, croissante ou décroissante (cf les théorèmes généraux sur les suites récurrentes). On dit qu'on a affaire à une convergence en escalier.	Cette fois, la suite n'est plus monotone, mais les deux suites extraites (u2n) et (u2n+1) sont monotones de signe de monotonie opposés. On dit qu'on a affaire à une convergence en colimaçon.

Terminons ce paragraphe sur R par 2 définitions :

Def :Un point fixe l tel que |f'(l)|<1 est dit attractif. S'il vérifie au contraire |f'(l)|>1, il est dit répulsif.

Bien sûr, cette terminologie n'est pas due au hasard. On suppose f' continue en l. Alors si l est attractif, il existe un k[0,1[, et un intervalle ]l-a,l+a[ tel que si x]l-a,l+a[, on a |f'(l)|k. On peut donc appliquer le théorème du point fixe sur l'intervalle [l-a,l+a], et toute suite récurrente u_n+1=f(u_n) à valeur de départ dans cette intervalle convergera vers l.
Si l est répulsif, cette fois, il existe k>1 et un intervalle ]l-a,l+a[ tel que si x]l-a,l+a[, on a |f'(l)|>k>1. Donc si on s'approche de l jusqu'à être dans ]l-a,l+a[, à l'itération suivante, on a : |un+1-l|k|un-l|, et donc on s'écarte de l. Ceci prouve qu'une suite récurrente u_n+1=f(u_n) ne peut converger vers l que si elle stationne en l!

Le "vrai" théorème du point fixe

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  La version précédente se généralise très largement.... L'ingrédient essentiel, masqué dans la démonstration précédente, est la caractère complet de l'espace sur lequel on travaille!

Théorème du point fixe de Picard : Soit (E,d) un espace métrique complet, et f : E->E une application contractante, c'est-à-dire qu'il existe k[0,1[ tq pour tout (x,y)E, d(f(x),f(y))kd(x,y). Alors f possède un unique point fixe l. De plus, toute suite définie par u0I, un+1=f(un), converge vers cet unique point fixe, et on a les estimations suivantes : d(un,l)knd(u0,l). d(un,l)k/(1-k)d(un,un-1)

Démonstration : On va procéder tout à fait différemment. On va commencer par étudier une telle suite, et montrer qu'elle converge. Comme f est continue, nécessairement, ce ne pourra être que vers un point fixe de f. L'outil essentiel va être l'utilisation des suites de Cauchy.
En reprenant les majorations conduisant à l'inégalité 2. dans le cas réel, on obtient que d(u_n+p,u_n) (k^p...+k)d(u_n,u_n-1). Mais on a aussi : d(u_n,u_n-1)kd(u_n-1,u_n-2) ... k^n-1d(u₁,u₀). En regroupant toutes ces inégalités, on obtient finalement : d(u_n+p,u_n) kⁿ/(1-k)(u₁-u₀). Ceci prouve bien que la suite est de Cauchy, et comme l'espace métrique est complet, elle converge...
f admet donc un point fixe l. Le reste de la démonstration (c'est-à-dire l'unicité et les majorations 1. et 2.) se font alors exactement comme dans le cas réel!

Le théorème du point fixe, et après???

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  Le théorème du point fixe est FONDAMENTAL en analyse. Il a des applications nombreuses, à la fois théoriques et pratiques. Au rang des premières, citons les incontournables : théorème des fonctions implicites, et solutions d'une équation différentielle satisfaisant à l'équation de Cauchy-Lipschitz! Pour les applications pratiques, ce qui est essentiel est d'avoir une estimation de la vitesse de convergence. Parmi ces applications, citons la méthode itérative de Gauss-Seidel pour la recherche des solutions d'une équation linéaire.

  Enfin, notons que notre terminologie : "Le théorème du point fixe " est totalement abusive! Il existe plusieurs centaines de théorèmes du point fixe, et des livres entiers ne font qu'en citer et en citer des applications. L'un des plus beaux, des plus surprenants, et le résultat suivant, dit théorème du point fixe de Brouwer :

Toute fonction continue d'un convexe compact de Rⁿ dans lui-même admet un point fixe.

  Par exemple, si vous tournez votre café, à la fin il y a au moins une particule qui sera toujours à la même place!

C'est à Emile Picard qu'on doit une première forme assez générale du théorème du point fixe, et surtout l'idée de l'utiliser pour démontrer des résultats difficiles d'analyse.