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07/05 - Bulles au carré
07/05 - L'équation du millénaire
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08/04 - Pourquoi retourner aux sources des mathématiques?
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21/03 - Le monde est mathématique
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Analyse -- Topologie -- Vocabulaire général
Algèbre -- Algèbre linéaire -- Matrices
Définition d'une norme
Soit E un espace vectoriel sur K=R ou C. Une norme sur E est une application N de E dans R+ vérifiant les conditions suivantes pour tout x,y dans E :
Soit E un espace vectoriel que l'on munit de deux normes N et N'. On dit que ces deux normes sont équivalentes s'il existe deux constantes a et b telles que :
Pour tout x de E, on ait : aN(x)
N'(x)bN(x).
Par exemple, les normes produits sur un espace normé telles qu'elles sont définies ci-après sont équivalentes. En revanche, si E=C([0,1],R), les normes suivantes ne sont pas équivalentes :
Si E a une structure d'algèbre, par exemple E est l'algèbre des matrices carrées d'ordre n sur R, une norme matricielle N sur E est une norme qui respecte la structure de ce produit. En d'autres termes, si A et B sont des éléments de E, on souhaite avoir l'inégalité :
N(AB)N(A)N(B)
Norme produit
Soient E1,...,En des espaces normés. On appelle norme produit sur l'espace produit E=E1*...*En l'une des normes suivantes (on a posé x=(x1,...,xn)) :
Autrement dit, elles sont équivalentes et définissent les mêmes ouverts. Ces ouverts correspondent aux ouverts de la topologie
produit de E1×...×En.
Soit E un espace vectoriel sur K=R ou C. Une norme sur E est une application N de E dans R+ vérifiant les conditions suivantes pour tout x,y dans E :
- N(x)=0 si et seulement si x=0.
-
N(x+y)N(x)+N(y)
- pour tout k dans K, N(kx)=|k|N(x).
Soit E un espace vectoriel que l'on munit de deux normes N et N'. On dit que ces deux normes sont équivalentes s'il existe deux constantes a et b telles que :
N'(x)bN(x).
Si E a une structure d'algèbre, par exemple E est l'algèbre des matrices carrées d'ordre n sur R, une norme matricielle N sur E est une norme qui respecte la structure de ce produit. En d'autres termes, si A et B sont des éléments de E, on souhaite avoir l'inégalité :
N(A)N(B)
Soient E1,...,En des espaces normés. On appelle norme produit sur l'espace produit E=E1*...*En l'une des normes suivantes (on a posé x=(x1,...,xn)) :
