Injection - Surjection - Bijection

Fondements -- Théorie des ensembles

  Dans toute la suite, $E$ et $F$ d√©signent des ensembles et $f$ une fonction de $E$ dans $F$.
Injection
  Une fonction $f:E\to F$ est dite injective si deux √©l√©ments de l'ensemble de d√©part ont toujours deux images par $f$ distinctes dans l'ensemble d'arriv√©e. Une autre fa√ßon de formuler cette d√©finition est de dire que, pour tout $y\in F$, l'√©quation $y=f(x)$ admet toujours au plus une solution.

  Un bon exemple de fonction injective est le num√©ro de S√©curit√© Sociale : deux personnes ont toujours un num√©ro de S√©curit√© Sociale diff√©rent... La fonction qui √† une personne associe son num√©ro de S√©curit√© Sociale est injective! En revanche, il existe plusieurs personnes qui sont n√©es un 06 f√©vrier 1977. La fonction qui √† une personne associe sa date de naissance n'est pas injective.
  Avec des quantificateurs, on a la d√©finition suivante :
D√©finition $f$ est injective si pour tous $a,b$ de $E$, $f(a)=f(b)$ entra√ģne $a=b$.
  Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, il ne peut y avoir une injection de $E$ dans $F$ que si $F$ a plus d'√©l√©ments que $E$.
Surjection
  Une fonction $f:E\to F$ est dite surjective si, pour tout √©l√©ment $y$ de $F$ (l'ensemble d'arriv√©e), l'√©quation $y=f(x)$ admet toujours au moins une solution $x$ appartenant √† $E$ (l'ensemble de d√©part).

  Par exemple, si on prend un troupeau de vaches, la fonction qui √† une patte associe la vache √† qui cette patte appartient est surjective! Si $E$ et $F$ sont des ensembles finie, l'existence d'une surjection de $E$ sur $F$ implique que le nombre d'√©l√©ment de $F$ est inf√©rieur ou √©gal au nombre d'√©l√©ments de $E$.
Bijection
  Une fonction $f:E\to F$ est dite bijective si elle est √† la fois injective et surjective, ou encore si pour tout $y\in F$, l'√©quation $y=f(x)$ poss√®de une unique solution. Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, $E$ et $F$ doivent alors avoir le m√™me nombre d'√©l√©ments.

  Un th√©or√®me couramment utilis√© est qu'une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ continue et strictement croissante r√©alise une bijection de $\mathbb R$ sur son image par $f$.

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