Injection - Surjection - Bijection

Fondements -- Théorie des ensembles

  Dans toute la suite, $E$ et $F$ dĂ©signent des ensembles et $f$ une fonction de $E$ dans $F$.
Injection
  Une fonction $f:E\to F$ est dite injective si deux Ă©lĂ©ments de l'ensemble de dĂ©part ont toujours deux images par $f$ distinctes dans l'ensemble d'arrivĂ©e. Une autre façon de formuler cette dĂ©finition est de dire que, pour tout $y\in F$, l'Ă©quation $y=f(x)$ admet toujours au plus une solution.

  Un bon exemple de fonction injective est le numĂ©ro de SĂ©curitĂ© Sociale : deux personnes ont toujours un numĂ©ro de SĂ©curitĂ© Sociale diffĂ©rent... La fonction qui Ă  une personne associe son numĂ©ro de SĂ©curitĂ© Sociale est injective! En revanche, il existe plusieurs personnes qui sont nĂ©es un 06 fĂ©vrier 1977. La fonction qui Ă  une personne associe sa date de naissance n'est pas injective.
  Avec des quantificateurs, on a la dĂ©finition suivante :
Définition $f$ est injective si pour tous $a,b$ de $E$, $f(a)=f(b)$ entraîne $a=b$.
  Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, il ne peut y avoir une injection de $E$ dans $F$ que si $F$ a plus d'Ă©lĂ©ments que $E$.
Surjection
  Une fonction $f:E\to F$ est dite surjective si, pour tout Ă©lĂ©ment $y$ de $F$ (l'ensemble d'arrivĂ©e), l'Ă©quation $y=f(x)$ admet toujours au moins une solution $x$ appartenant Ă  $E$ (l'ensemble de dĂ©part).

  Par exemple, si on prend un troupeau de vaches, la fonction qui Ă  une patte associe la vache Ă  qui cette patte appartient est surjective! Si $E$ et $F$ sont des ensembles finie, l'existence d'une surjection de $E$ sur $F$ implique que le nombre d'Ă©lĂ©ment de $F$ est infĂ©rieur ou Ă©gal au nombre d'Ă©lĂ©ments de $E$.
Bijection
  Une fonction $f:E\to F$ est dite bijective si elle est Ă  la fois injective et surjective, ou encore si pour tout $y\in F$, l'Ă©quation $y=f(x)$ possède une unique solution. Si $E$ et $F$ sont des ensembles finis, $E$ et $F$ doivent alors avoir le mĂŞme nombre d'Ă©lĂ©ments.

  Un thĂ©orème couramment utilisĂ© est qu'une fonction de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$ continue et strictement croissante rĂ©alise une bijection de $\mathbb R$ sur son image par $f$.

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