On parle d'extrémum lié lorsqu'on cherche à maximiser ou minimiser une fonction de plusieurs variables f(x₁,...,x_n) lorsque ces variables sont liées par certaines relations. Un théorème général permet bien souvent de résoudre le problème de la recherche des extrema liés.

Théorème : Soient f, g1,..., gp des fonctions de classe C1 sur un ouvert U de Rn, à valeurs dans R et X l'ensemble défini par : X={x de U; g1(x)=...=gp(x)=0}. Si la restriction de f à X admet un extrémum local en a, et si les différentielles dg1(a),...,dgp(a) sont des formes linéaires indépendantes, alors il existe des réels c1,...,cp tels que : df(a)=c1dg1(a)+...+cpdgp(a) Ces réels c1,...,cp sont appelés multiplicateurs de Lagrange.

  Ce théorème a une interprétation géométrique naturelle. Prenons un arc tracé sur X avec . La fonction (d'une variable réelle) admet un extrémum local en 0, d'où l'on tire : Maintenant, est un vecteur tangent à X en a, et en fait tous les vecteurs tangents à X en a s'obtiennent de cette façon. Ainsi, df(a)(v)=0 pour tout vecteur v tangent à X en a. Mais l'ensemble de ces vecteurs tangents est l'intersection des noyaux de dg_i(a) et l'inclusion entraine la relation du théorème par un résultat élémentaire d'algèbre linéaire.

Exemple

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  Cherchons le maximum de la fonction sur l'ensemble défini par En un point où le maximum est atteint, on a forcément x_i>0 et on peut appliquer le théorème précédent avec g(x)=(x₁+...+x_n)/n-1. On obtient Mais et ce qui entraîne En particulier, on obtient que tous les a_i sont égaux et qu'il sont tous égaux à 1. Ainsi, sur X, on a f(x)<=1. Par homogénéité, on obtient l'inégalité des moyennes arithmétiques et géométriques

    •Biographie de Joseph-Louis Lagrange