Les courbes de Bézier sont des courbes polynômiales utilisées notamment en informatique ou dans l'automobile. Prenons d'abord l'exemple le plus répandu, celui des courbes de Bézier avec 4 points de contrôle.

  On considère donc 4 points A,B,C,D du plan. Alors la courbe de Bézier de points de contrôle A,B,C,D est la seule courbe polynômiale de degré inférieur ou égal à 3 telle que :

• elle passe par les extrémités A et D.
• la tangente au point A est donnée par le vecteur et la tangente au point D est donnée par le vecteur

  Il est possible d'avoir une représentation paramétrique simple de la courbe : il s'agit en effet de l'ensemble des points M(t) tels que : M(t)=(1-t)³A+3t(1-t)²B+3t²(1-t)C+t³D, pour t parcourant l'intervalle [0,1] (l'équation précédente doit se comprendre coordonnée par coordonnée).

  Plus généralement, si P₀,...,P_n sont (n+1) points du plan, la courbe de Bézier de points de contrôle P₀,...,P_n est la courbe polynômiale de degré inférieur ou égal à n donnée par : pour t dans [0,1] (les experts reconnaitront ici l'expression d'un polynôme de Bernstein). Elle a les propriétés suivantes :

• elle passe par P₀ et P_n, mais pas en général par les autres points de contrôle.
• la tangente en P₀ (respectivement en P_n) est donnée par et par .
• la courbe est toujours contenue dans l'enveloppe convexe des points de contrôles.

Les courbes de Bézier ont été décrites pour la première fois en 1972 par Pierre Bézier, alors ingénieur chez Renault, qui les utilisa pour aider à la conception assitée par ordinateur des voitures. D'un calcul très rapide (il existe des algorithmes spécifiques), elles sont aussi très utilisées en informatique dans les logiciels de traitement d'images ou bien dans les polices de caractères.

    •Polynômes de Bernstein
    •Splines cubiques