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Les courbes elliptiques


  Les courbes elliptiques sont un sujet très à la mode en mathématiques. Elles sont à la base de la démonstration du grand théorème de Fermat par Andrew Wiles. Elles sont aussi à l'origine de nouveaux algorithmes de cryptographie très sûrs, et on entrevoit les prémices de leur utilisation pour la factorisation de grands nombres entiers.

Courbe elliptique sur les réels

  On appelle courbe elliptique sur $\mathbb R$ toute courbe plane d'équation y2=x3+ax+b, où le discriminant -(4a3+27b2) de x3+ax+b est non nul. On rajoute à cette courbe un point à l'infini noté O.

  L'intérêt de ces courbes elliptiques est qu'on peut les munir d'une opération de groupe commutatif. Prenons P et Q deux points distincts de la courbe elliptique (et différents du point à l'infini O). On trace la droite (PQ). Deux cas peuvent se produire :

  • La droite coupe la courbe en un 3è point (on démontre qu'il y a au plus 3 points d'intersection entre une droite et la courbe). Le symétrique de ce 3è point par rapport à l'axe des abscisses est P+Q.
  • La droite ne coupe la courbe qu'en P et Q. Ceci n'est possible que si (PQ) est parallèle à l'axe des ordonnées. On définit alors P+Q=O (point à l'infini).
  Si P=Q, on considère la tangente à la courbe en P, et on définit P+P comme ci-dessus. Enfin, on prolonge la définition de + en posant P+O=O+P=P.

  On peut alors prouver que l'opération + définit une loi de groupe sur la courbe elliptique. On peut d'ailleurs effectuer les calculs, pour obtenir les coordonnées de P+Q en fonction de celles de P et de Q. Si P(x1,y2), Q(x2,y2) et P+Q(x3,y3), on a :

Courbes elliptiques sur un corps quelconque

  Si K est un corps, disons de caractéristique différente de 2 et 3, on peut tout autant considérer l'ensemble des courbes (x,y) de K vérifiant y2=x3+ax+b, plus un point O à l'infini. Ceci constitue une courbe elliptique sur K. L'interprétation géométrique précédente n'est plus possible. En revanche, les calculs algébriques réalisés restent valables, et on peut toujours munir la courbe elliptique d'une structure de groupe en appliquant les formules ci-dessus. Si le corps K est fini, la courbe elliptique est un groupe commutatif fini, mais dont l'ordre et la structure sont difficiles à déterminer. Ils sont, en quelque sorte, des analogues plus compliqués aux groupes (Z/pZ)*.

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