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| Carrés pairement pairs |
Dans un carré magique "diabolique" (encore appelé "pandiagonal") la somme des nombres placés sur les diagonales "brisées" est aussi égale à la constante c du carré.
Pour une dimension n = 4, cette constante est c = 4(42+1)/2 = 34
Comment composer cette diagonale brisée ? Partons de 14. Vers la gauche, nous trouvons une des diagonales principales.
Partons donc vers la droite, sortons du carré et inscrivons un petit symbole dans les cases correspondantes.
Recommençons la manoeuvre avec 14 et 4, puis 8, 5 et 9.
Cela fait, faisons glisser vers l'arrière de 4 cases (n cases pour une dimension n) et on obtient (les petits symboles indiquant alors les nombres à associer):
14 + 15 + 3 + 2 = 34: ; 11 + 4 + 6 + 13 = 34 et 8 + 5 + 9 + 12 = 34
En descendant de droite à gauche, on obtient :
1 + 4 + 16 + 13 =34 ; 8 + 15 + 9 + 2 = 34 et 11 + 10 + 6 + 7 = 34
Pas de doute, ce carré est bien "diabolique" : c'est un des 48 carrés diabliques possibles sur les 880 carrés de 4 possibles.
Un carré magique est encore dit "enchanté" si, quels que soient les 4 nombres appartenant à un cadre de 2 x 2, leur somme vaut 2(42+1) = 34 également (cas particulier propre à la dimension 4 : voir la page consacrée aux différents carrés pour le calcul général).
Voyons cela. Ci-dessous, ont été matérialisés 6 cadres (sur 9 au total) :
1 + 8 + 10 + 15 = 34 ; 11 + 14 + 4 + 5 = 34 ; 6 + 3 + 13 + 12 = 34 ; 16 + 9 + 2 + 7 = 34
15 + 10 + 3 + 6 = 34 ; 5 + 4 + 16 + 9 =34
Mais encore :
8 + 11 + 10 + 5 = 34 ; 10 + 5 + 15 + 3 =34 et 3 + 16 + +2 + 13 = 34
Ce carré est bien enchanté. Par contre, celui de Dürer (voir la galerie de portraits) n'est ni diabolique, ni enchanté.
Bien plus, ce carré a été construit sur un modèle très similaire au carré de 8 x 8, rendu célèbre par Benjamin Franklin, que voici :
Et bien, on peut constater, après un exament attentif, que :
- ce carré est enchanté,
- la somme des nombres de chaque demi-ligne ou demi-colonne vaut 130, la moitié de la constante du carré,
- la somme de 4 nombres symétriques par rapport au centre théorique du carré vaut 130,
- la somme des 8 nombres constituant une demi-diagonale brisée montante (en rouge) oet d'une demi-diagonale brisée descendante (en bleu) vaut aussi 130.
Mais voici, par une méthode originale, un carré de 12 lui aussi très particulier :
La méthode utilisée permet de construire un carré composé de 
carrés de dimension 4 :
- Chacun des carrés de base est diabolique et enchanté,
- Le carré entier est lui-même diabolique et enchanté (parfois quelques problèmes aux "coutures"),
- Le carré est une mosaïque de 9 carrés (ici) de dimension 4 interchangeables sans que cela supprime les propriétés du carré entier,
- Le carré n'étant qu'un cas particulier de rectangle, on peut donc en faire un rectangle, ou construire directement, par cette méthode, un rectangle (voire une croix) magique, diabolique et enchanté, mosaïque de carrés de 4 interchangeables...
Pour une dimension n donnée, remplacer dans ce qui va suivre : 145 par n2+1 ; 73 par n2/2 + 1, 36 par n2/16.
Il faut utiliser deux carrés, l'un servira à la mise en place des nombres, préparatoire à la construction du carré magique. Cela fait, on s'attaque la répartition des nombres :
Le travail de préparation est maintenant terminé... Il reste maintenant tracer un deuxième carré vide, à y matérialiser les 9 carrés élémentaires et à placer dans chacune des 16 cases de chaque carré élémentaire, les nombres issus du carré élémentaire correspondant (que vous venez d'établir) et dont les coordonnées (colonne ; ligne) figurent dans le petit tableau ci-dessous :
| (1;1) | (4;2) | (3;3) | (2;4) |
| (3;4) | (2;3) | (1;2) | (4;1) |
| (2;2) | (3;1) | (34;4) | (1;3) |
| (4;3) | (1;4) | (2;1) | (3;2) |
Chaque carré de base étant magique de même constante, il est donc aisé de comprendre qu'ils soient interchangeables et qu'on puise construire, moyennant une petite adaptation, un rectangle magique sur le même principe.
Voir aussi
• Le monde fascinant des carrés magiques
• Galerie de portraits
• Euler et la "magie" des nombres
• Le Carré du soleil et ses "descendants"
• Les carrés de dimension impaire (à venir)
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