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Etienne Bézout (31 mars 1730 [Nemours] - 27 septembre 1783 [Les Basses-Loges])

Étienne Bézout est un mathématicien français du siècle des Lumières, contemporain de d'Alembert. Il est né à Nemours le 31 mars 1730. Bézout étudie au collège de sa ville natale; son père est magistrat, il décède en 1750, année où Étienne Bézout termine sa scolarité. Ce dernier hérite d'un petit pécule qui lui permet d'aller étudier et enseigner les mathématiques à Paris. Il est alors remarqué par d'Alembert sous la direction duquel il écrit deux mémoires consacrés l'un à la mécanique, l'autre aux intégrales elliptiques. Ces travaux lui permettent d'être élu académicien adjoint en 1758. Il travaille sur ces sujets de la dynamique et de l'intégration jusqu'en 1762, date à partir de laquelle il se consacre aux équations algébriques.

En 1764, le duc de Choiseul, ministre de la Marine, décide de réorganiser complètement la formation des officiers de la Marine royale et charge Étienne Bézout de cette responsabilité. C'est une lourde charge, qui lui impose d'écrire un cours et de se déplacer plusieurs mois par an à Brest, Rochefort et Toulon pour faire passer les examens des gardes de la marine, et qui l'éloigne de l'Académie. Il accepte pourtant cette mission, sans doute pour des besoins financiers, et aussi peut-être par goût de l'enseignement. A partir de 1768, il est de plus nommé examinateur des écoles d'Artillerie. Le cours qu'il écrira pour ces écoles militaires, Cours complet de mathématiques à l'usage de la marine et de l'artillerie eut un grand succès, et fut un livre très populaire parmi les étudiants préparant l'École Polytechnique lorsque celle-ci fut créée; il fut aussi choisi par l'université d'Harvard comme ouvrage de référence pour son cours de calculus.

La carrière académique de Bézout est très ralentie par cette charge. Il ne publie aucun mémoire de recherche entre 1765 et 1779, année où parait son ouvrage principal Théorie générale des équations algébriques. Il ne devient pensionnaire de l'Académie qu'en 1782, peu de temps avant sa mort, le 27 septembre 1783.

Bézout n'a pas été particulièrement reconnu de son vivant. Pourtant, son nom est passé à la postérité pour au moins trois travaux :

  • l'identité de Bézout, qui dit que deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si on peut trouver des entiers $u$ et $v$ tels que $au+bv=1$. En réalité, ce résultat est dû à Claude Bachet, plus d'un siècle avant Bézout. La contribution de Bézout est d'avoir observé que cela restait vrai pour des polynômes comme conséquence du résultat énoncé ci-dessous. C'est Nicolas Bourbaki, en 1952, qui attribua le résultat à Bézout dans le cadre bien plus général des anneaux principaux.
  • la théorie de élimination entre deux équations algébriques : il énonce que si on cherche à résoudre un système d'équation du type $P(X)=0$ et $Q(X)=0$ où $P$ et $Q$ sont des polynômes, il en résulte une équation de degré le produit des degrés de $P$ et de $Q$.
  • le théorème de Bézout, qui étudie le nombre de points d'intersection de deux courbes algébriques planes. En termes modernes, deux courbes algébriques planes de degré respectifs $m$ et $n$ se coupent en exactement $m\times n$ points, en tenant compte des multiplicités.

Les entrées du Dicomaths correspondant à Bézout

Les mathématiciens contemporains de Bézout (né en 1730)